Question

已知點(diǎn)P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）滿(mǎn)足a_n+1=a_nb_n+1，，且點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（1，-1）．
（Ⅰ）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ） 已知點(diǎn)P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在P₁，P₂兩點(diǎn)確定的直線(xiàn)l上，求證：數(shù)列是等差數(shù)列．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求對(duì)于所有n∈N^*，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥成立的最大實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知．由此知過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線(xiàn)l的方程為2x+y=1．
（Ⅱ）由P_n（a_n，b_n）在直線(xiàn)l上，知2a_n+b_n=1．故b_n+1=1-2a_n+1．由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n-2a_na_n+1．由此知是公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅲ）由．，知．所以，．依題意恒成立．設(shè)，所以只需求滿(mǎn)足k≤F（n）的F（n）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222751504977029/SYS201311012227515049770019_DA/9.png">，所以．所以．（1分）
所以過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線(xiàn)l的方程為2x+y=1．（2分）
（Ⅱ）因?yàn)镻_n（a_n，b_n）在直線(xiàn)l上，所以2a_n+b_n=1．所以b_n+1=1-2a_n+1．（3分）
由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n（1-2a_n+1）．即a_n+1=a_n-2a_na_n+1．
所以．所以是公差為2的等差數(shù)列．（5分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得．
所以．
所以．（7分）
所以．（8分）
依題意恒成立．
設(shè)，
所以只需求滿(mǎn)足k≤F（n）的F（n）的最小值．（10分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222751504977029/SYS201311012227515049770019_DA/20.png">
==，
所以F（n）（x∈N^*）為增函數(shù)．（12分）
所以．
所以．所以．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運(yùn)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地選用公式．