Question

設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對(duì)x₁、x₂∈（a，b），都有|f(x₁)-f(x₂)|≤|x₁-x₂|，則稱(chēng)y=f(x)是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對(duì)k∈R，f(x)=x²+kx+1都不是區(qū)間（-1，1）上的平緩函數(shù)；
（2）若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T(mén)=2的平緩函數(shù)，試證明對(duì)x₁、x₂∈R，|f(x₁)-f(x₂)|≤1．

Answer 1

解：（1），，
若k≥0，則當(dāng)時(shí)，，
從而；
若k＜0，則當(dāng)時(shí)，，
從而，
所以對(duì)任意常數(shù)k，都不是區(qū)間（-1，1）上的平緩函數(shù)。
（2）若，
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，根據(jù)f(x)的周期性，f(0)=f(2)，
，
，
所以對(duì)，都有，
對(duì)，根據(jù)f(x)的周期性（且T=-2），
存在，使、，
從而，。