Question

平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，過三點(diǎn)A、P、N的圓的圓心坐標(biāo)是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，列出四邊形PABN的周長(zhǎng)關(guān)于a的表達(dá)式，得到x軸上的點(diǎn)（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和最小時(shí)，四邊形PABN的周長(zhǎng)也最�。�利用對(duì)稱思想結(jié)合直線方程的求法，可得a值為時(shí)，四邊形PABN的周長(zhǎng)最小．從而得到P、N的坐標(biāo)，再用直線方程的一般式，求出經(jīng)過三點(diǎn)A、P、N的圓方程，從而得到圓心的坐標(biāo)．
解答：解：四邊形PABN的周長(zhǎng)為
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+++1
=+++1，
只需求出+的最小值時(shí)的a值．
由于+=+，
表示x軸上的點(diǎn)（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和，只需該距離之和最小即可．
利用對(duì)稱的思想，可得該距離之和的最小值為（1，-3）與（3，1）間的距離，
且取得最小的a值為E（1，-3）與F（3，1）確定的直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵直線EF的斜率k==2，∴直線EF方程為y+3=2（x-1），化簡(jiǎn)得y=2x-5，
令y=0，得x=，所以此時(shí)a值為
由以上的討論，得四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，P（，1），N（，1）
設(shè)過三點(diǎn)A、P、N的圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
可得，解之得D=-6，E=，F(xiàn)=
∴過三點(diǎn)A、P、N的圓方程為x²+y²-6x+y+=0，可得圓坐標(biāo)為（3，-）
故答案為：（3，-）
點(diǎn)評(píng)：本題以四邊形周長(zhǎng)取最小值為載體，求經(jīng)過三點(diǎn)圓的圓心坐標(biāo)，著重考查了直線的方程、圓方程求法等知識(shí)，屬于中檔題．