設(shè)函數(shù)f（x）=2cos（2x+
π
3
）+
3
（sinx+cosx）2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB=
1
3
，f（
π
4
+
C
2
）=
3
2
，且C為銳角，求sinA的值．
分析：（Ⅰ）由題意可得：f（x）=cos2x+
3
，所以函數(shù)f（x）的最大值為1+
3
，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（
π
4
+
C
2
）=sinC+
3
=
3
2
，進(jìn)而求出C=
π
3
，由題意可得：cosB=
1
3
，所以 sinB=
2
2
3
，結(jié)合 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：
f（x）=2cos（2x+
π
3
）+
3
（sinx+cosx）2
=cos2x-
3
sin2x+
3
（1+sin2x）
=cos2x+
3

所以函數(shù)f（x）的最大值為1+
3
，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（
π
4
+
C
2
）=cos（
π
2
+C）+
3
=-sinC+
3
=
3
2
，
所以sinC=
3
2
，
因?yàn)镃為銳角，所以C=
π
3
，
又因?yàn)樵凇鰽BC中，cosB=
1
3
，所以 sinB=
2
2
3
，
所以 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=
2
2
3
×
1
2
+
1
3
×
3
2
=
2
2
+
3
6
．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二倍角公式與兩角和與差的正弦余弦公式，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
ax3+bx（a≠0），若f（3）=3f′（x0），則x0=（　�。�
A、±1
B、
2
C、±
3
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃州區(qū)模擬）已知向量
m
=（cos
x
2
，-1），
n
=（
3
sin
x
2
，cos2
x
2
），設(shè)函數(shù)f（x）=
m
•
n
+1．
（1）若x∈[0，
π
2
]，f（x）=
11
10
，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c-
3
a，求f（x）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos（
π
2
x-
π
3
），若對(duì)于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），則|x1-x2|的最小值為（　�。�
A、4
B、2
C、1
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2ax+2在區(qū)間（-2，2）上是增函數(shù)，則a的范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|（x∈R）四位同學(xué)研究得出如下四個(gè)命題，其中真命題的有（　�。﹤�(gè)
①f（x）是偶函數(shù)；
②f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
③不等式f（x）＜2010×2011的解集為∅；
④關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程f（a2-3a+2）=f（a-1）有無(wú)數(shù)解．

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