Question

過(guò)點(diǎn)（0，4）的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率k的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：如圖：設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，4）且與雙曲線相切的直線為 l₁，過(guò)點(diǎn)（0，4）且與漸近線y=-x平行的直線為l₂．則直線AB的斜率k 應(yīng)大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．把直線 l₁ 的方程代入雙曲線的方程化簡(jiǎn)，由△=0，解得l₁的斜率為 ，從而得到斜率k 的范圍．
解答：如圖所示：過(guò)點(diǎn)（0，4）且與雙曲線相切的直線為 l₁，過(guò)點(diǎn)（0，4）且與漸近線y=-x平行的直線為l₂．
則直線AB的斜率k 應(yīng)大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．
設(shè)直線 l₁ 的方程為y-4=k′（x-0），代入雙曲線的方程化簡(jiǎn)得 （3-k²） x²-8kx-28-0．
由題意可得判別式△=0，解得 k′=，或 k′= （舍去）．
而l₂的斜率等于-，故直線AB的斜率k滿足 ＜k＜．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷直線AB的斜率k 應(yīng)大于l₁的斜率且小于l₂的斜率，是解題的關(guān)鍵．