設(shè)m∈R,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量
a
=(mx,y+1)
,向量
b
=(x,y-1)
a
b
,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為E.
(Ⅰ)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(Ⅱ)已知m=
1
4
,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程.
分析:(1)因?yàn)?span id="wz8iyvc" class="MathJye">
a
b
a
=(mx,y+1)
,
b
=(x,y-1)
,所以
a
b
=mx2+y2-1=0
,由此根據(jù)實(shí)數(shù)m的取值,能判斷該方程所表示曲線的形狀.
(2)當(dāng)m=
1
4
時(shí),軌跡E的方程為
x2
4
+y2=1
,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為y=kx+t,解方程組
y=kx+t
x2
4
+y2=1
,得x2+4(kx+t)2=4,即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,由此證明存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程.
解答:解:(1)因?yàn)?span id="732o3qg" class="MathJye">
a
b
,
a
=(mx,y+1)
,
b
=(x,y-1)
,
所以
a
b
=mx2+y2-1=0
,即mx2+y2=1.
當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為y=±1;
當(dāng)m=1時(shí),方程表示圓;
當(dāng)m>0且m≠1時(shí),方程表示的是橢圓;
當(dāng)m<0時(shí),方程表示的是雙曲線.
(2)當(dāng)m=
1
4
時(shí),軌跡E的方程為
x2
4
+y2=1
,
設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為y=kx+t,
解方程組
y=kx+t
x2
4
+y2=1
,
得x2+4(kx+t)2=4,即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,
要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,
則使△=64k2t2-16(1+4k2)(t2-1)=16(4k2-t2+1)>0,
即4k2-t2+1>0,即t2<4k2+1,
x1+x2=-
8kt
1+4k2
x1x2=
4t2-4
1+4k2

y1y2=(kx1+t)(kx2+t)
=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=
k2(4t2-4)
1+4k2
-
8k2t2
1+4k2
+t2=
t2-4k2
1+4k2
,
要使
OA
OB
,需使x1x2+y1y2=0,
4t2-4
1+4k2
+
t2-4k2
1+4k2
=
5t2-4k2-4
1+4k2
=0
,
所以5t2-4k2-4=0,即5t2=4k2+4且t2<4k2+1,
即4k2+4<20k2+5恒成立.
所以又因?yàn)橹本y=kx+t為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
所以圓的半徑為r=
|t|
1+k2
,r2=
t2
1+k2
=
4
5
(1+k2)
1+k2
=
4
5
,
所求的圓為x2+y2=
4
5

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為x=±
2
5
5
,
x2
4
+y2=1
交于點(diǎn)(
2
5
5
,±
2
5
5
)
(-
2
5
5
,±
2
5
5
)
也滿足OA⊥OB.
綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=
4
5

使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且
OA
OB
點(diǎn)評(píng):本題考查方程所表示曲線形狀,考查圓的方程的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用.
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設(shè)m∈R,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為E.
(Ⅰ)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(Ⅱ)已知m=
1
4
.證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求該圓的方程;
(Ⅲ)已知m=
1
4
.設(shè)直線l與圓C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于A1,且l與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1.當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.

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(2013•天河區(qū)三模)設(shè)m∈R,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量
a
=(x+
3
,my)
,向量
b
=(x-
3
,y)
,
a
b
,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為曲線E.
(I)求曲線E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(II) 已知m=
3
4
,F(xiàn)(0,-1),直線l:y=kx+1與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N,則△FMN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)的實(shí)數(shù)k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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設(shè)m∈R,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量
a
=(mx,y+1),向量
b
=(x,y-1),
a
b
,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(2)點(diǎn)P為當(dāng)m=
1
4
時(shí)軌跡E上的任意一點(diǎn),定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)N滿足
PN
=2
NQ
,試求點(diǎn)N的軌跡方程.

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設(shè)m∈R,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為E.
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(Ⅱ)已知m=.證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求該圓的方程;
(Ⅲ)已知m=.設(shè)直線l與圓C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于A1,且l與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1.當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.

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