【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形,且∠ABC=60°,
AB=PC=2,PA=PB= .
(1)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)設(shè)H是PB上的動點,求CH與平面PAB所成最大角的正切值.
【答案】
(1)
證明:取AB中點O,連結(jié)PO、CO,
∵PA=PB= ,AB=2,∴△PAB為等腰直角三角形,
∴PO=1,PO⊥AB,
∵AB=BC=2,∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形,
∴ ,又PC=2,
∴PO2+CO2=PC2,∴PO⊥CO,
又AB∩CO=O,AB平面ABCD,CO平面ABCD,
∴PO⊥平面ABC,又PO平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABCD.
(2)
解:∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,OC⊥AB,OC平面ABCD,
∴OC⊥平面PAB,
∴∠CHO為CH與平面PAB所成的角.
∵tan∠CHO= ,∴當(dāng)OH⊥PB時,OH取得最小值,此時tan∠CHO取得最大值.
當(dāng)OH⊥PB時,OH= = .
∴tan∠CHO= = .
【解析】(1)取AB中點O,連結(jié)PO、CO,由PA=PB可得PO⊥AB,利用特殊三角形的性質(zhì)計算PO,OC,PC,可證PO⊥OC,于是PO⊥平面ABCD,故平面PAB⊥平面ABCD;(2)由面面垂直的性質(zhì)可知∠CHO為CH與平面PAB所成的角,故當(dāng)OH最小值,tan∠CHO= 取得最大值.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的所有棱長都是, 平面, , 分別是, 的中點.
()求證: 平面.
()求二面角的余弦值.
()求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2﹣ax+a+3,g(x)=ax﹣2a.
(1)若函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在[﹣2,0]上有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在x0∈R,使得f(x0)≤0與g(x0)≤0同時成立,求實數(shù)a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;
(2)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其中a=7,若銳角A滿足 ,且 ,求△ABC的面積.
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【題目】已知函數(shù),且定義域為.
(1)求關(guān)于的方程在上的解;
(2)若在區(qū)間上單調(diào)減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)和同時滿足以下兩個條件:
(1)對于任意實數(shù),都有或;
(2)總存在,使成立.
則實數(shù)的取值范圍是 __________.
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【題目】下列所給4個圖象中,與所給3件事吻合最好的順序為 ( )
(1)我離開家不久,發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué);
(2)我出發(fā)后,心情輕松,緩緩行進,后來為了趕時間開始加速;
(3)我騎著車一路以常速行駛,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽擱了一些時間.
A. (1)(2)(4) B. (4)(2)(1) C. (4)(3)(1) D. (4)(1)(2)
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【題目】“開門大吉”是某電視臺推出的游戲節(jié)目.選手面對1~8號8扇大門,依次按響門上的門鈴,門鈴會播放一段音樂(將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹),選手需正確答出這首歌的名字,方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金.在一次場外調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個年齡段:21~30,31~40(單位:歲),統(tǒng)計這兩個年齡段選手答對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示.
(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
(1)寫出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為答對歌曲名稱與否和年齡有關(guān),說明你的理由.(下面的臨界值表供參考)
P(K2≥k0) | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
(2)在統(tǒng)計過的參考選手中按年齡段分層選取9名選手,并抽取3名幸運選手,求3名幸運選手中在21~30歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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