(本題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為,且在處取得極小值。

(1)求的解析式;

(2)已知函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集,若存在區(qū)間,使得的值域也是,稱區(qū)間為函數(shù)的“保值區(qū)間”.

①當(dāng)時,請寫出函數(shù)的一個“保值區(qū)間”(不必證明);

②當(dāng)時,問是否存在“保值區(qū)間”?若存在,寫出一個“保值區(qū)間”并給予證明;若不存在,請說明理由.

 

【答案】

解:(1)∵,                        

                              ……  1 分

                       …… 4  分

,       令,解得,

當(dāng)變化時,,的變化情況如下表:

1

0

0

+

極大值

極小值

∴當(dāng)時,取得極小值。                                  

所以,。                                     ……  5 分

(2) ①                                       ……  7 分

②由(1)得

假設(shè)當(dāng)x>1時,存在“保值區(qū)間”:[m,n](n>m>1)。

因?yàn)楫?dāng)x>1時,所以在區(qū)間是增函數(shù),

依題意,

于是問題轉(zhuǎn)化為有兩個大于1的根。             …… 9  分

現(xiàn)在考察函數(shù)

又∵

∴1<                                               

當(dāng)變化時,,的變化情況如下表:

(1,)

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

 所以,在在(1,) 上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增。          …… 12  分

于是,,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052106470381255838/SYS201205210649249375829115_DA.files/image035.png">

所以,當(dāng)時,的圖象與軸只有一個交點(diǎn),                ……  13 分

即方程有且只有一個大于1的根,與假設(shè)矛盾。

故當(dāng)x>1時,不存在“保值區(qū)間”。                          ……  14 分

(2)解法2:由(1)得,

② 假設(shè)當(dāng)x>1時,存在“保值區(qū)間”:[m,n](n>m>1)。

因?yàn)楫?dāng)x>1時,所以在區(qū)間是增函數(shù),

依題意,

于是問題轉(zhuǎn)化為方程,即有兩個大于1的根! 9  分

考察函數(shù)=(),與函數(shù)().

當(dāng)x>1時,

所以

而函數(shù)在區(qū)間                …… 12  分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052106470381255838/SYS201205210649249375829115_DA.files/image046.png">   所以,

因此函數(shù)=()的圖象與函數(shù)()的圖象只有一個交點(diǎn)。

……  13分

即方程有且只有一大于1的根,與假設(shè)矛盾。

故當(dāng)時,不存在“保值區(qū)間”         

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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(本題滿分14分)已知向量 ,,函數(shù).   (Ⅰ)求的單調(diào)增區(qū)間;  (II)若在中,角所對的邊分別是,且滿足:,求的取值范圍.

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(本題滿分14分)已知,且以下命題都為真命題:

命題 實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根都是虛數(shù);

命題 存在復(fù)數(shù)同時滿足.

求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(本題滿分14分)已知函數(shù)

(1)若,求x的值;

(2)若對于恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

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(本題滿分14分)

已知橢圓的離心率為,過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線相交于、,

⑴求的值;

⑵若動圓與橢圓和直線都沒有公共點(diǎn),試求的取值范圍.

 

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((本題滿分14分)

已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE = x,G是BC的中點(diǎn).沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖).

(1)當(dāng)x=2時,求證:BD⊥EG ;

(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為,

的最大值;

(3)當(dāng)取得最大值時,求二面角D-BF-C的余弦值.

 

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