Question

如圖，給出定點A(a，0)(a＞0)和直線l：x＝－1，B是直線l上的一動點，∠BOA的平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系．(注：文科題設(shè)還有條件a≠1)．

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考查曲線與方程、直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力． 　　解：依題可設(shè)B(－1，b)(b∈R)， 　　∴直線OB方程為y＝－bx，設(shè)點C(x，y)，則0≤x＜a． 　　∵OC平分∠AOB， 　　∴點C到OA、OB距離相等． 　　∴|y|＝．　　　　　　　(*) 　　又直線AB的方程為y＝－(x－a)． 　　∴b＝，代入(*)式得 　　y2[1＋]＝[y＋]2， 　　整理得y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0． 　　當y≠0時，(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2＝0．(0＜x＜a) 　　當y＝0時，b＝0，∠AOB＝π，C(0，0)滿足上式． 　　∴點C的軌跡方程為(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2＝0(0≤x＜a)． 　　∵a≠1， 　　∴方程可化為＋＝1(0≤x＜a)． 　　∴當0＜a＜1時，此方程表示橢圓的一部分． 　　當a＞1時，此方程表示雙曲線一支的一部分．