Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，.

（1）求證：.

（2）若M為線段上的一點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)交BD于點P,利用≌及等腰三角形可證得,由平面平面可得平面,進(jìn)而得證；

（2）由平面平面,平面平面,平面,,可得平面,作,則以P為原點,以射線為x軸,y軸,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面的法向量與平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解即可

（1）證明：設(shè)交BD于點P,,所以≌,

所以,

在中,且,得,即,

又平面平面,平面平面,平面ABCD,

所以平面,

又平面,所以

（2）由題,平面平面,平面平面,平面,,所以平面,作,

以P為原點,以射線為x軸,y軸,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

由（1）,,,,

是等邊三角形,,

則,,,,

,,,

設(shè)平面的法向量為,則,即,

令,則,,,

設(shè)平面的法向量為,則,即,

令,則,,,

設(shè)所求角為,則,

所求的銳二面角余弦值為