設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-a，a）（a＞0）內(nèi)為奇函數(shù)且可導(dǎo)，證明：f′（x）是（-a，a）內(nèi)的偶函數(shù)．
分析：證明f′（x）是（-a，a）內(nèi)的偶函數(shù)即證f′（-x）=f′（x），而函數(shù)f（x）沒有解析式，故想到運用導(dǎo)數(shù)的定義進行證明．
解答：證明：對任意x∈(-a，a)，f′(-x)=
lim
△x→0
f(-x+△x)-f(-x)
△x
=
lim
△x→0
f[-(x-△x)]-f(-x)
△x

由于f（x）為奇函數(shù)，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是f′(-x)=
lim
△x→0
-f(x-△x)+f(x)
△x
=
lim
△x→0
f(x-△x)-f(x)
-△x
=f′(x)，
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-a，a）內(nèi)的偶函數(shù)．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的定義以及函數(shù)奇偶性的判斷．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi…＜xn=b，把區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點ξi（i=1，2，…，n），作和式Sn=
n
i=1
f(ξi)△x（其中△x為小區(qū)間的長度），那么Sn的大�。ā　。�
A、與f（x）和區(qū)間[a，b]有關(guān)，與分點的個數(shù)n和ξi的取法無關(guān)
B、與f（x）和區(qū)間[a，b]和分點的個數(shù)n有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)
C、與f（x）和區(qū)間[a，b]和分點的個數(shù)n，ξi的取法都有關(guān)
D、與f（x）和區(qū)間[a，b]和ξi取法有關(guān)，與分點的個數(shù)n無關(guān)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-
2
3
，-
1
3
）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•聊城一模）已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx-
π
6
)-4sin2ωx+a，(ω＞0)，其圖象的相鄰兩個最高點之間的距離為π，
（1） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2） 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最小值為-
3
2
，求函數(shù)f（x），（x∈R）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=|x|•（x-a）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為m（a），求m（a）的表達式；
（3）若a=4，證明：方程f（x）+
4x
=0有兩個不同的正數(shù)解．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案