Question

已知A、B是圓x²+y²=1與x軸的兩個交點(diǎn)，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點(diǎn)P，問是否存在兩個定點(diǎn)E、F，使||PE|-|PF||為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），C（x₀，y₀），則D（x₀，-y₀），由A、C、P三點(diǎn)共線得直線方程，由D、B、P三點(diǎn)共線得直線方程，將兩式相乘得

y2

x2-1

=

- y 2 0

x 2 0 -1

 而 x₀²+y₀²=1，從而y₀²=1-x₀² 即點(diǎn)P在雙曲線x²-y²=1上，根據(jù)雙曲線定義知，存在兩個定點(diǎn)E（-

2

，0），F(xiàn)（

2

，0）滿足條件．

解答：解：由已知得A（-1，0）、B（1，0），
設(shè)P（x，y），C（x₀，y₀），則D（x₀，-y₀），
由A、C、P三點(diǎn)共線得

y

x+1

=

y0

x0+1

                 ①…（2分）
由D、B、P三點(diǎn)共線得

y

x-1

=

-y0

x0-1

                ②…（4分）
①×②得

y2

x2-1

=

- y 2 0

x 2 0 -1

                           ③
又 x₀²+y₀²=1，∴y₀²=1-x₀²   代入③得  x²-y²=1，
即點(diǎn)P在雙曲線x²-y²=1上，…（10分）
故由雙曲線定義知，存在兩個定點(diǎn)E（-

2

，0）、
F（

2

，0）（即此雙曲線的焦點(diǎn)），使||PE|-|PF||=2
（即此雙曲線的實(shí)軸長） 為定值．　…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了三點(diǎn)共線，以及雙曲線的性質(zhì)，同時考查了分析問題的能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．