Question

已知P（11，2）是圓x²+y²+2x-4y-164=0內(nèi)一點，則過P點的所有弦中，弦長為整數(shù)的共有

32

條．

Answer 1

分析：將圓x²+y²+2x-4y-164=0化成標(biāo)準方程，得圓心為C（-1，2），半徑r=13．根據(jù)兩點距離公式算出|PC|=12，結(jié)合垂徑定理得到經(jīng)過P點最短的弦長等于10，而經(jīng)過P點最長的弦等于直徑26，由此結(jié)合圖形的對稱性，可得弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)．

解答：解：∵圓x²+y²+2x-4y-164=0化成標(biāo)準方程得：（x+1）²+（y-2）²=169
∴x²+y²+2x-4y-164=0的圓心為C（-1，2），半徑r=13
∵P（11，2）到圓C的距離為|PC|=

(11+1)2+(2-2)2

=12
∴結(jié)合垂徑定理，得經(jīng)過P點且與PC垂直的弦長為2

132-122

=10，
即經(jīng)過點P最短的弦長等于10
又∵經(jīng)過點P最長的弦為圓C的直徑2r=26
∴經(jīng)過點P且長度為整數(shù)的弦長可能是：10，11，12，…，26
其中長度為10和26的各有一條，根據(jù)對稱性得長度為11，12，…，25的弦各有兩條
因此，弦長為整數(shù)的弦共有2（25-10）+2=32條
故答案為：32

點評：本題給出已知圓內(nèi)一個定點，求經(jīng)過該點且弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)，著重考查了圓的簡單性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．