Question

【題目】已知函數(shù).

(1)證明:在區(qū)間上存在唯一零點；

(2)令，若時有最大值，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）對求導得到，再對求導，得到，根據(jù)的正負，得到的單調(diào)性，再由定義域求出的正負，從而得到的單調(diào)性，由零點存在定理，進行證明；（2）對求導，得到，令，根據(jù)（1）的結(jié)論，可得在上有唯一零點，再按和進行分類，分別研究的單調(diào)性，從而得到有最大值時對的要求，得到答案.

(1)

易知在區(qū)間上恒成立，則在單調(diào)遞減

所以＝0，即f(x)在單調(diào)遞增，

又，則在區(qū)間必存在唯一零點

(2)

所以

令，則

由(1)知:則在單調(diào)遞增

又，即在上有唯一零點

當時，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增;在區(qū)間單調(diào)遞減；此時h(x)存在最大值h(0)，滿足題意;

當時，由有兩個不同零點x=0及，所以h(x)在區(qū)間(0，a)單調(diào)遞減；在區(qū)間，單調(diào)遞增;此時h(x)有極大值h(0)＝2a

由h(x)有最大值，可得;，解得，即

綜上所述:當時，h(x)在有最大值