Question

正方形的邊長(zhǎng)為2，分別為邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，如圖，把正方形沿折起，設(shè)．

（1）求證：無論取何值，與不可能垂直；
（2）設(shè)二面角的大小為，當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

（1）與不可能垂直； （2）的值為．

試題分析：（1）假設(shè)，                                     1分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020126892615.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以平面，          3分
所以，又，所以，              5分
這與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以與不可能垂直；   6分
（2）分別以為軸，過點(diǎn)垂直平面向上為軸，如圖建立坐標(biāo)系，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，
，     7分
得，   8分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，       9分
得，   10分
                11分
=，                              12分
得，                                             13分
所以當(dāng)時(shí)，的值為．                     14分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何問題中，平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離、面積、體積等的計(jì)算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉(zhuǎn)化成為平面問題，利用平面幾何知識(shí)加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計(jì)算”。利用“向量法”，通過建立空間直角坐標(biāo)系，往往能簡(jiǎn)化解題過程。對(duì)于折疊問題，首先要弄清“變”與“不變”的幾何元素。