Question

13．已知函數f（x）=aln（x+1）-x，a∈R．
（1）若x＞0，試探究函數f（x）的極值；
（2）若對任意的x∈[1，2]，f（x）+x²≤0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，根據導函數表達式對a分類討論，利用函數的單調性判斷函數的極值；
（2）對不等式整理得a≤$\frac{x-{x}^{2}}{ln（x+1）}$，把恒成立問題轉化為函數的最小值問題，利用導函數判斷函數的單調性，根據單調性求出函數的最小值．

解答 解：（1）f（x）=aln（x+1）-x，a∈R．
f'（x）=$\frac{a}{x+1}$-1=$\frac{-x-1+a}{x+1}$（x＞-1），
當a≤0時，f'（x）＜0時，f'（x）＜0恒成立，函數遞減，無極值；
當a＞0時，x在（-1，a-1）時，f'（x）＞0，在（a-1，+∞）時，f'（x）＜0，
∴x=a-1為極大值點，
∴函數在a＞0時有極大值為alna-a+1；
（2）f（x）+x²≤0恒成立，
∴aln（x+1）-x+x²≤0，
∴a≤$\frac{x-{x}^{2}}{ln（x+1）}$，
令g（x）=$\frac{x-{x}^{2}}{ln（x+1）}$，g'（x）=$\frac{（1-2x）ln（x+1）-\frac{x-{x}^{2}}{x+1}}{[ln（x+1）]^{2}}$，
∵當x∈[1，2]，g'（x）＜0恒成立，g（x）遞減，
∴g（x）的最小值為g（2）=-$\frac{2}{ln3}$．
∴a≤-$\frac{2}{ln3}$．

點評 考查了導函數的應用，函數的構造和恒成立問題的轉化思想．