Question

已知函數f(x)=2

3

sinxcosx-2sin2x+1．
（1）若x∈R，求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值及此時x的值；
（3）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可得到f（x）的單調增區(qū)間．
（2）根據x的范圍可得2x+

π

6

∈[

π

6

 ，

7π

6

]，由此求得函數f（x）的最小值以及此時x的值．
（3）由條件求得sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

．再根據（2x₀+

π

6

）為鈍角可得cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，由sin2x₀ =sin[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]，利用兩角差的正弦公式求得結果．

解答：解：（1）∵函數f(x)=2

3

sinxcosx-2sin2x+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
故函數f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

 ，

7π

6

]，故當2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，函數f（x）取得最小值為-1．
（3）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，則有2sin（2x₀+

π

6

）=

6

5

，sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

．
再由（2x₀+

π

6

）為鈍角可得cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，
∴sin2x₀ =sin[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=sin（2x₀+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3

5

×

3

2

-

-4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的單調區(qū)間的求法，正弦函數的定義域和值域，兩角和差的正弦公式的應用，屬于中檔題．