Question

設(shè)函數(shù)f(x)=log2

x+1

x-1

+log2(x-1)+log2(p-x)，
（1）求函數(shù)的定義域．
（2）問f（x）是否存在最大值與最小值？如果存在，請把它寫出來；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，可得不等式組，進(jìn)而可得x的范圍．
（2）把f（x）的解析式化簡可得f（x）=log2[-(x-

p-1

2

)2+

(p+1)2

4

]，再討論當(dāng)

p-1

2

≤1和1＜

p-1

2

＜p時，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性看函數(shù)是否有最值．

解答：解：（1）由

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

，解得

x＞1 x＜p

①
當(dāng)p≤1時，①不等式解集為空集；當(dāng)p＞1時，①不等式解集為{x|1＜x＜p}，
∴f（x）的定義域為（1，p）（p＞1）．
（2）原函數(shù)即f(x)=log2[(x+1)(p-x)]=log2[-(x-

p-1

2

)2+

(p+1)2

4

]，
當(dāng)

p-1

2

≤1，即1＜p≤3時，函數(shù)f（x）既無最大值又無最小值；
當(dāng)1＜

p-1

2

＜p，即p＞3時，函數(shù)f（x）有最大值2log₂（p+1）-2，但無最小值．

點評：本題主要考查了函數(shù)定義域和值域的求法．屬基礎(chǔ)題．