Question

已知橢圓的中心為O，長軸、短軸的長分別為2a，2b（a＞b＞0），A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB．
（1）求證：為定值；
（2）求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可利用直線OA，OB方程與橢圓方程聯(lián)立求A，B點坐標滿足的一元方程，進而求出A，B的橫縱坐標的平方，代入
，化簡即可．
（2）由S_△AOB=|OA||OB|，=，可根據(jù)均值不等式求最小值，再根據(jù)S_△²AOB=
，把|OB|²轉(zhuǎn)化為|OA|²，再根據(jù)橢圓中，|OA|范圍即可求出面積最大值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為，設(shè)當直線OA斜率存在且不為0時，設(shè)方程為y=kx，
∵A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB．∴直線OB方程為y=-x
設(shè)A（x1，y1），b（x2，y2），把y=kx代入得，∴
把y=-x代入，得  ，∴                        
  =+=+
=
當直線OA，OB其中一條斜率不存在時，則另一條斜率為0此時==
綜上，為定值

   （2）S_△AOB=|OA||OB|，∴S_△²AOB=|OA|²|OB|²
由（1）知=≥2=
∴S_△AOB=|OA||OB|≥，∴．
∵S_△²AOB=|OA|²|OB|²=|OA|²
=，隨著|OA|的增加，此函數(shù)值在增加
∵|OA|≤a，∴S_△²AOB≤=a²b²
∴
綜上，
點評：本題考查了橢圓中定植問題和最值問題，與不等式聯(lián)系，題目較難，應(yīng)認真分析題意．