Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過點K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D．設(shè)

FA

•

FB

=

8

9

，則△BDK的內(nèi)切圓的半徑r=

2

3

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標，設(shè)L與C 的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則D（x₁，-y₁），設(shè)過點K（-1，0）的直線L：x=my-1，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量的條件求得m，進而推知BD的斜率，則BD方程可知，利用M到x=

4

3

y-1和到BD的距離相等，即可求得a和圓的半徑．

解答：解：設(shè)L與C 的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則D（x₁，-y₁）．
拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），
設(shè)過點K（-1，0）的直線L：x=my-1，代入拋物線方程，整理得y²-4my+4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，

FA

•

FB

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=4（m²+1）-8m²+4=8-4m²=

8

9

，
∴m2=

16

9

∴m=±

4

3

∴y₂-y₁=4

m2-1

=

4 7

3

，
∴BD的斜率k₁=

y2+y1

x2-x1

=

4

y2-y1

=

3

7

，
∴BD：y=

3

7

（x-1）．
圓心M在x軸上，設(shè)為（a，0），
∵M到x=

4

3

y-1和到BD的距離相等，∴|a+1|×

3

5

=|

3

7

（a-1）|×

7

4

，
∴4|a+1|=5|a-1|，-1＜a＜1，
解得a=

1

9

．
∴半徑r=

2

3

，
故答案為：

2

3

．

點評：本題考查拋物線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)與圓的方程的求解、平面向量的數(shù)量積等知識，考查考生綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理論證的能力、運算能力和解決問題的能力綜合性強．