Question

已知f（x）=x³-

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x²+6x+m²，其中m∈R，
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（-1，2），求m的值；
（2）若?x∈[0，3]，f（x）≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)的方程，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，把點(diǎn)（-1，2）代入切線(xiàn)方程，列出關(guān)于m的方程，求解即可得到m的值；
（2）將?x∈[0，3]，f（x）≤m，利用參變量分離轉(zhuǎn)化為g（x）=x3-

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x2+6x≤m-m²，即求g（x）_min≤m-m²，再利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值即可，求解即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-

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x²+6x+m²，
∴f′（x）=3x²-9x+6，
∴切線(xiàn)的斜率k=f′（0）=6，又切點(diǎn)（0，m²），
根據(jù)點(diǎn)斜式，可得斜線(xiàn)的方程為y-m²=6x，即y=6x+m²，
∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（-1，2），
∴2=6×（-1）+m²，
∴m=±2

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．
（2）∵?x∈[0，3]，f（x）≤m，則等價(jià)于x3-

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x2+6x≤m-m²在[0，3]有解，
令g（x）=x3-

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x2+6x，
∴x3-

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x2+6x≤m-m²在[0，3]有解，即g（x）_min≤m-m²，
以下求g（x）在[0，3]的最小值，
令g′（x）=3x²-9x+6=0，解得x=1或x=2，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＜0，即g（x）在（1，2）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，g′（x）＞0，即g（x）在（2，3）單調(diào)遞增，
∴g（x）在x=2處取得極小值g（2）=2，
又∵g（0）=0，g（3）=

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，
∴g（x）_min=0，
∴0≤m-m²，解得0≤m≤1，
∴m的取值范圍為[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的幾何意義即在改點(diǎn)處切線(xiàn)的幾何意義，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．考查了存在性問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題，對(duì)于不等式有解問(wèn)題，通常選用參變量分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．屬于中檔題．