Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把M的橫坐標(biāo)代入準(zhǔn)線方程得到一個(gè)關(guān)系式，然后由短半軸b和c表示出a，代入關(guān)系式得到關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，進(jìn)而得到a的值，由a和b的值寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，由以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長，過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點(diǎn)，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到3x-4y-5=0的距離d，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；
（3）設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示出，，及，由，得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出一個(gè)關(guān)系式，又，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到另一個(gè)關(guān)系式，把前面得到的關(guān)系式代入即可求出線段ON的長，從而得到線段ON的長為定值．
解答：解：（1）又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得
故，∴c=1，從而
所以橢圓方程為；
（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-t）=0
即
其圓心為，半徑
因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離=
所以，解得t=4
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5
（3）設(shè)N（x，y），則，
，
∵，∴2（x-1）+ty=0，∴2x+ty=2，
又∵，∴x（x-2）+y（y-t）=0，
∴x²+y²=2x+ty=2，
所以為定值．
點(diǎn)評：此題綜合考查了橢圓的簡單性質(zhì)，垂徑定理及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則．要求學(xué)生掌握平面向量垂直時(shí)滿足的條件是兩向量的數(shù)量積為0，以及橢圓中長半軸的平方等于短半軸與半焦距的平方和．