Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax，其中a為不大于零的常數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e（n∈N^*，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把導(dǎo)函數(shù)解析式通分化簡，根據(jù)a為不大于零的常數(shù)，分a=0，a小于等于-1，以及a大于0小于-1三種情況分別討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，并利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）令a=-1，代入函數(shù)解析式，由第一問當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，可得a=-1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故當(dāng)x大于0時(shí)，f（x）小于f（0），而f（0）=0，故f（x）小于0，即ln（1+x²）＜x，所證不等式左邊取為e為底數(shù)的對數(shù)，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，并根據(jù)ln（1+x²）＜x變形，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡，得出其中小于1，最后再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得證．

解答：解：（1）f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

，（1分）
①當(dāng)a=0時(shí)，∵f'（x）＞0?2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0?2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；（3分）
②當(dāng)

a＜0 △≤0

，即a≤-1時(shí)，f′（x）≤0對x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；（5分）
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，∵f′（x）＞0?ax²+2x+a＞0?

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

，
f′（x）＜0?ax²+2x+a＜0?x＜

-1+ 1-a2

a

或x＞

-1- 1-a2

a

，
∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調(diào)遞減；  （7分）
綜上所述，當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調(diào)遞減．
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減；（8分）
（2）由（1）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）＜f（0）=0得：ln（1+x²）＜x，（10分）
∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1=lne，
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e（14分）

點(diǎn)評：此題考查了求導(dǎo)法則，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的證明，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的中檔題．