Question

如下圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝，，．

(Ⅰ)求點D到平面PBC的距離；(Ⅱ)求二面角C－PD－A的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)如圖，在四棱錐P－ABCD中， 　　∵BC∥AD，從而點D到平面PBC間的距離等于點A到平面PBC的距離． 　　∵∠ABC＝，∴AB⊥BC，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC， 　　∴BC⊥平面PAB，　　2分 　　∴平面PAB⊥平面PBC，交線為PB，過A作AE⊥PB，垂足為E，則AE⊥平面PBC， 　　∴AE的長等于點D到平面PBC的距離．而，∴．　　5分 　　即點D到平面PBC的距離為．　　6分 　　(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD， 　　引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，則CM⊥平面PAD， 　　∴MN是CN在平面PAD上的射影， 　　由三垂線定理可知CN⊥PD， 　　∴∠CNM是二面角的平面角．　　9分 　　依題意，， 　　∴，∴， 　　可知，∴， 　　，∴二面角的大小為　　12分 　　解法二：如圖，A為原點，分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系． 　　(Ⅰ)依題意，， 　　∴， 　　∴．則，，， ， 　　∴，，． 　　設平面PBC的一個法向量為，則 　　令，得， 　　則點D到平面PBC的距離等于．　　6分 　　(Ⅱ)∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一個法向量為． 　　設平面PDC的一個法向量為， 　　∵，，∴ 　　令，得，∴． 　　∵二面角C－PD－A是銳二面角，∴二面角C－PD－A的大小為．　　12分