已知函數(shù)f（x）=ln（2+3x）-
32
x2
（I）求f（x）在[0，1]上的極值；
（II）若關(guān)于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．
分析：（I）先求導(dǎo)，再利用極值的定義求解．
（II）將f（x）=-2x+b轉(zhuǎn)化為ln（2+3x）-
3
2
x2+2x-b=0 
令φ(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b，用導(dǎo)數(shù)法求得其極值和端點值并比較其大小，由方程在[0，1]上恰有兩個不同的實根，有數(shù)形結(jié)合法求解．
解答：解：（I）f′(x)=
3
2+3x
-3x=
-3(x+1)(3x-1)
3x+2
，
令f'（x）=0得x=
1
3
或x=-1（舍去）∴當(dāng)0≤x≤
1
3
時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)
1
3
＜x≤1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．∴f(
1
3
) =ln3-
1
6
為函數(shù)f（x）在[0，1]上的極大值
（II）由f（x）=-2x+b?ln（2+3x）-
3
2
x2+2x-b=0
令φ(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b，則，φ′(x)=
3
2+3x
-3x+2=
7-9x2
2+3x
，
當(dāng)x∈[0，
7
3
]時，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，
7
3
]上遞增；
當(dāng)x∈[
7
3
，1]時，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[
7
3
，1]上遞減，而φ(
7
3
)＞φ(0)，φ(
7
3
)＞φ(1)，
∴f（x）=-2x+b，即φ（x）=0在[0，1]恰有兩個不同實根等價于
φ(0)=ln2-b≤0
φ(
7
3
)=ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
-b＞0
φ(1)=ln5+
1
2
-b≤0

∴l(xiāng)n5+
1
2
≤b小于ln（2+
7
）-
7
6
+
2
7
3
．
點評：本題主要考查求函數(shù)的極值、最值，用函數(shù)法解決方程根的問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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