已知x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x,(x∈R)的一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ)求a與b的關(guān)系式(用a表示b),并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),求f(x)在[0,4]上的值域.
分析:(Ⅰ)求出f′(x),因?yàn)閤=3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)得到f′(3)=0即可得到a與b的關(guān)系式;令f′(x)=0,得到函數(shù)的極值點(diǎn),用a的范圍分兩種情況分別用極值點(diǎn)討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(0,3)上的單調(diào)遞增,在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,得到f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=(2x+a)e3-x-(x2+ax+b)e3-x=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x
由f'(3)=0得b=-3-2a…3
f'(x)=-(x-3)(x+a+1)e3-x
(1)當(dāng)-a-1>3,即a<-4時(shí),
令f'(x)>0得3<x<-a-1
令f'(x)<0得x<3或x>-a-1.
(2)當(dāng)-a-1=3,即a=-4時(shí),f'(x)=-(x-3)2e3-x,
由于-(x-3)2≤0,且e3-x>0,
故f'(x)=-(x-3)2e3-x≤0恒成立;
(3)當(dāng)-a-1<3,即a>-4時(shí),
令f'(x)>0得-a-1<x<3
令f'(x)<0得x<-a-1或x>3,
綜上述:
(1)當(dāng)a<-4時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,-a-1),遞減區(qū)間(-∞,3),(-a-1,+∞)
(2)當(dāng)a>-4時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-a-1,3),遞減區(qū)間(-∞,-a-1),(3,+∞)
(3)當(dāng)a=-4時(shí)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.…8
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(0,3)上的單調(diào)遞增,在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,
那么f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],
而f(0)=-(2a+3)e3<0,f(4)=(2a+13)e-1>0,f(3)=a+6,
那么f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.
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已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),求b的取值范圍.

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