Question

函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱的充要條件是f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b．如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，則稱（a，b）為“中心點”，稱函數(shù)y=f（x）為“中心函數(shù)”．
①已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，點（1，0）為函數(shù)y=f（x-1）的“中心點”，若不等式f（m²-5m+21）+f（m²-8m）＜0恒成立，則3＜m＜3.5．
②若函數(shù)y=f（x）為R上的“中心函數(shù)”，則y=

1

f(x)

為R上的“中心函數(shù)”．
③函數(shù)y=f（x）在R上的中心點為（a，f（a）），則F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)．
④已知函數(shù)f（x）=2x-cosx為“中心函數(shù)”，數(shù)列{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列．若

7

n=1

f（a_n）=7π，則

[f(a4)]

a1a7

=

64

5

．
其中你認(rèn)為是正確的所有命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,新定義

分析：①根據(jù)題意判斷出f（x）為奇函數(shù)，且為增函數(shù)對原不等式變形后利用單調(diào)性求得m的范圍．
②先假設(shè)結(jié)論成立并設(shè)出對稱點來，把對稱點代入求得結(jié)論不成立．
③利用定義法判斷出函數(shù)的奇偶性．
④根據(jù)已知條件表達(dá)出若

7

n=1

f（a_n）=7π，利用等差中項的性質(zhì)和兩角和公式對其化簡可求得a₄，進(jìn)而利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出a₁和a₇，分別代入判斷結(jié)論是否正確．

解答： 解：①函數(shù)y=f（x）的圖象由函數(shù)y=f（x-1）向左平移1個單位獲得，且點（1，0）為函數(shù)y=f（x-1）的“中心點”，
∴（0，0）點為函數(shù)y=f（x）的中心點，即關(guān)于原點對稱，
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
∵f（m²-5m+21）+f（m²-8m）＜0
∴f（m²-5m+21）＜-f（m²-8m）
∴f（m²-5m+21）＜f（-m²+8m）
∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴m²-5m+21＜-m²+8m，即2m²-13m+21＜0，求得3＜m＜3.5
∴命題①正確．
②假設(shè)命題成立，設(shè)函數(shù)y=f（x）的對稱點為（a，b），則

1

f(a-x)

+

1

f(a+x)

=

f(a-x)+f(a+x)

f(a-x)•f(a+x)

=

2b

f(a-x)•f(a+x)

=2b不恒成立，
故假設(shè)不成立，命題②不正確．
③∵函數(shù)y=f（x）在R上的中心點為（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a）
∴f（a-x）=2f（a）-f（a+x）
∴F（-x）=f（-x+a）-f（a）=2f（a）-f（a+x）-f（a）=-（f（x+a）-f（a））=-F（x）
∴F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)．
命題③正確．
④∵

7

n=1

f（a_n）=7π，數(shù)列{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列
∴f（a₇）=2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇）-（cosa₁+cosa₂+cosa₃+cosa₄+cosa₅+cosa₆+cosa₇）
=14a₄-[cos（a₄-

3π

8

）+cos（a₄+

3π

8

）+cosa₂+cosa₃+cosa₄+cosa₅+cosa₆]
=14a₄-[2cosa₄cos

3π

4

+cosa₂+cosa₃+cosa₄+cosa₅+cosa₆]
=14a₄+（3

2

+1）cosa₄=7π
∴a₄=

π

2

∴f（a₄）=π，a₁=

π

2

-

3π

8

=

π

8

，a₇=

π

2

+

7π

8

=

3π

8

，
∴則

[f(a4)]

a1a7

=

π

π 8 × 7π 8

=

56

7π

≠

64

5

．
∴命題④不成立．
故正確的命題為①③
故答案為：①③．

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，單調(diào)性的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換的運用以及等差數(shù)列的基本性質(zhì)．綜合性較強，要求學(xué)生等綜合運用基礎(chǔ)知識解決問題的能力．