Question

已知點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=lnx上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l：y=x+2的距離的最小值為（　�。�

• A、

  2

• B、2
• C、

  3 2

  2

• D、2

  2

Answer 1

分析：當(dāng)曲線(xiàn)上過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)和直線(xiàn)y=x+2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x+2的距離最小，求出曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線(xiàn)y=x+2的距離即為所求．

解答：解：當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)和直線(xiàn)y=x+2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x+2的距離最小．
由題意可得，y′=

1

x

，令

1

x

=1，
∴x=1，
∴曲線(xiàn)y=lnx上和直線(xiàn)y=x+2平行的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），
點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)y=x+2的距離d=

|1-0+2|

1+(-1)2

=

3 2

2

，
∴點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x+2的最小距離為

3 2

2

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．