Question

已知直線l：y=1-2x交拋物線y²=mx于A、B兩點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)．OP的斜率為-

1

2

，求此拋物線的方程．

Answer 1

分析：要求拋物線的方程即需根據(jù)OP的斜率為-

1

2

求M的值即求出p點(diǎn)的坐標(biāo)即可．由于P為弦AB的中點(diǎn)則結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)可知需將直線l：y=1-2x交拋物線y²=mx的方程連立然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂再根據(jù)A、B兩點(diǎn)在直線y=1-2x上求出y₁+y₂即可求出中點(diǎn)p的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
令

y=1-2x y2=mx

則4x²-（4+m）x+1=0
∴x1+x2=

4+m

4

∵y1+y2=2-2(x1+ x2)=-

m

2

∴p（

4+m

8

，-

m

4

）
∵OP的斜率為-

1

2

∴

- m 4

4+m 8

=-

1

2

∴m=

4

3

∴此拋物線的方程為y2=

4

3

x

點(diǎn)評(píng)：此題主要強(qiáng)化了直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題的考察．解題的關(guān)鍵是要根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分析出要將直線l：y=1-2x交拋物線y²=mx的方程連立求出x₁+x₂，這種“設(shè)而不求”的解題方法在以后的學(xué)習(xí)中要多多注意!