Question

已知函數(shù)f（x）對于一切實數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的解析式；
（III）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+（a-3）x+a，如果函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，令x=1，y=0可得f（1）-f（0）=1×（1+0+1），
即 0-f（0）=2，解得f（0）=-2．
（II）令y=-x，可得 f（0）-f（-x）=x（1-x），即 f（-x）=x²-x-2，∴f（x）=x²+x-2．
（III）由于函數(shù)g（x）=f（x）+（a-3）x+a 在區(qū)間（-1，1）上有零點，則有g(shù)（-1）g（1）=（-2+3）[0+（a-3+a）]＜0，
解得 a＜，即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，）．
分析：（I）在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中，由f（1）=0，令x=1，y=0可得f（1）-f（0）=1×（1+0+1），由此解得f（0）的值．
（II）令y=-x，求得 f（-x）的解析式，即可求得 f（x） 的解析式．
（III）由題意可得，g（-1）g（1）=（-2+3）[0+（a-3+a）]＜0，解得 a＜，即為所求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)零點的判定定理的應(yīng)用，求函數(shù)的解析式和函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．