Question

（2013•南通一模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=2a-2，an+1=aan-1+1 (n∈N*)．
（1）若a=-1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a=3，試證明：對?n∈N^*，a_n是4的倍數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由題意，令b_n=a_n-1，則b1=-5，bn+1=(-1)bn，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a=3，a1=-4，an+1=3an-1+1，利用數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合二項(xiàng)式定理，即可證明結(jié)論．

解答：（1）解：a=-1時(shí)，a1=-4，an+1=aan-1+1
令b_n=a_n-1，則b1=-5，bn+1=(-1)bn
∵b₁=-5為奇數(shù)，b_n也是奇數(shù)且只能為-1
∴bn=

-5，n=1 -1，n≥2

，即an=

-4，n=1 0，n≥2

；
（2）證明：a=3時(shí)，a1=-4，an+1=3an-1+1
①n=1時(shí)，a₁=-4，命題成立；
②設(shè)n=k時(shí)，命題成立，則存在t∈N^*，使得a_k=4t
∴ak+1=3ak-1+1=3^4t-1+1=27•（4-1）^4（t-1）+1
∵（4-1）^4（t-1）=44(t-1)-

C

1 4(t-1)

•44t-5+…+

C	4t-3 4(t-1)

•4+1=4m+1，m∈Z
∴ak+1=3ak-1+1=27•（4m+1）+1=4（27m+7）
∴n=k+1時(shí)，命題成立
由①②可知，對?n∈N^*，a_n是4的倍數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．