Question

已知函數(shù)f（x）=

x

3x+1

，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）記S_n（x）=

x

a1

+

x2

a2

+…+

xn

an

，求Sn（x）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+1=f（a_n）（n∈N^*，等式兩邊同取倒數(shù)，變形可得

1

an+1

-

1

an

=3，滿足等差數(shù)列的定義，可得結(jié)論；
（2）先根據(jù)（1）求出a_n，然后討論當(dāng)x=1，求出S_n（x），當(dāng)x≠1，0時(shí)，可利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，當(dāng)x=0時(shí)，S_n（0）=0也適合，即可求出所求．

解答：解：（1）由已知得：a_n+1=

an

3an+1

，

1

an+1

=

3an+1

an

=3+

1

an

∴

1

an+1

-

1

an

=3
∴{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差d=3的等差數(shù)列
（2）由（1）得

1

an

=1+（n-1）3=3n-2
∴S_n（x）=x+4x²+7x³+…+（3n-5）x^n-1+（3n-2）xⁿ
當(dāng)x=1，S_n（1）=1+4+7+…+（3n-2）=

1+3n-2

2

•n=

n(3n-1)

2

當(dāng)x≠1，0時(shí)，S_n（x）=x+4x²+7x³+…+（3n-5）x^n-1+（3n-2）xⁿ
xS_n（x）=x²+4x³+7x⁴+…+（3n-5）xⁿ+（3n-2）xⁿ⁺¹
（1-x）S_n（x）=x+（3x²+3x³+…+3xⁿ）-（3n-2）xⁿ⁺¹
=x+

3x2(1-xn-1)

1-x

-(3n-2)xn+1
∴Sn(x)=

x-(3n-2)xn+1

1-x

+

3x2(1-xn-1)

(1-x)2

=

x(1-x)-(3n-2)xn+1(1-x)+3x2(1-xn-1)

(1-x)2

=

(3n-2)xn+2-(3n-2)xn+1+x-x2+3x2-3xn+1

(1-x)2

=

(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x

(1-x)2

當(dāng)x=0時(shí)，S_n（0）=0也適合．
綜上所述，x=1，Sn(1)=

n(3n-1)

2

x≠1，S_n（x）=

(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x

(1-x)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的證明，以及數(shù)列的求和，借助錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和是常用的方法，屬于中檔題．