Question

已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n=

3n-1

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式； 
（2）若c_n=

an(n為奇數(shù)) bn(n為偶數(shù))

，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和T_2n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用題中的已知條件分別用解方程和遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式．注意對(duì)首項(xiàng)的驗(yàn)證．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論利用分類(lèi)的方法進(jìn)行求和，注意數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．

解答： 解：（1）等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
解方程x²-12x+27=0
解得：x₁=3，x₂=9
由題意得：a₁=3，a₂=9
進(jìn)而求得：a_n=2n-1．
由S_n=

3n-1

2

當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

3n-1

2

-

3n-1-1

2

=3^n-1．又因?yàn)閎₁=1適合公式，
所以bn=3n-1．
（2）因?yàn)閏_n=

an(n為奇數(shù)) bn(n為偶數(shù))

，
所以：T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+c_2n+1
=a₁+b₂+a₃+b₄+…+b_2n+a_2n+1
=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=

(n+1)(a1+a2n+1)

2

+

b2-9b2n

1-9

=(n+1)(2n+1)+

32n+1-3

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，用分類(lèi)求和的方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題型．