Question

14．已知函數(shù)$f（x）=-lnx，g（x）=\frac{1}{x}-ax$，若在點（2，f（2））處的切線與g（x）在點（2，g（2））處的切線l平行．
（1）求直線l的方程；
（2）關(guān)于x的方程$f（x）+xg（x）=-\frac{3}{2}x+1-b$在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得a的方程，即可解得a的值，再求出直線l即可．
（2）由題意可得即有$f（x）+xg（x）=-\frac{3}{2}x+1-b$在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根．h（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b，求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，可得m的不等式，即可得到m的范圍

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{1}{x}$，g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-a，
∴，g′（2）=-$\frac{1}{4}$-a=f′（2）=-$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$x，
∴g（2）=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{4}$=0，
∴直線l的方程為x+2y-2=0．
（2）由題意，a=$\frac{1}{4}$，
∴1-$\frac{1}{4}$x²-lnx=-$\frac{3}{2}$x+1-b，
即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0，
設(shè)h（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b，x∈[1，4]，
∴h′（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
令h′（x）=0，解得x₁=1，x₂=2，
當h′（x）＞0時，2＜x≤4，函數(shù)單調(diào)遞增，
當h′（x）＜0時，即1≤x＜2，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴h（x）_極大值=h（1）=-b-$\frac{5}{4}$，h（x）_極小值=h（2）=ln2-b-$\frac{5}{4}$，h（4）=2ln2-b-2，
∵x的方程$f（x）+xg（x）=-\frac{3}{2}x+1-b$在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，
∴h（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（2）＜0}\\{h（4）≥0}\end{array}\right.$
得ln2-2＜b≤-$\frac{5}{4}$，（注意-$\frac{5}{4}$＜-1＜2ln2-2）
∴b的取值范圍為（ln2-2，-$\frac{5}{4}$]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．