Question

已知a＞0，函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的極值；
（Ⅲ）若在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a(bǔ)代入函數(shù)解析時(shí)候，求出f（1）及f^′（1），利用直線方程的點(diǎn)斜式可求切線方程；
（Ⅱ）把原函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)后求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，對a進(jìn)行分類討論得原函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在（-1，1）上的極值；
（Ⅲ）利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在上的最大值，把在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f（x）≥g（x）成立，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在上的最大值大于等于0，然后列式可求a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）由，得：f^′（x）=a²x²-2ax．
當(dāng)a=1時(shí)，，此時(shí)f^′（1）=-1，．
所以，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-1×（x-1），即x+y-1=0；
（Ⅱ）由f^′（x）=a²x²-2ax=0得：x=0，或x=，
當(dāng)0＜，即a＞2時(shí)，因?yàn)閤∈（-1，1），
由f^′（x）＞0⇒-1＜x＜0或．
由f^′（x）＜0⇒．
所以f（x）在（-1，0]上遞增，在（0，]上遞減，在上遞增．
故在（-1，1）上，，．
當(dāng)，即0＜a≤2時(shí)，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上遞減
故在（-1，1）上，，無極小值；
（Ⅲ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=，x∈[，]．
則F^′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124106453589134/SYS201310251241064535891020_DA/19.png">，a＞0，所以F^′（x）＞0．
故F（x）在區(qū)間上為增函數(shù)．
所以，
若在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f（x）≥g（x）成立，所以需F（x）_max≥0．
即，
所以a²+6a-8≥0．
解得：或．
因?yàn)閍＞0，所以a的取值范圍是[，+∞）．
點(diǎn)評：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求曲線上點(diǎn)的切線方程的方法，考查了利用導(dǎo)函數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是把在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f（x）≥g（x）成立，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在上的最大值大于等于0，該轉(zhuǎn)化理解起來有一定難度．