Question

如圖，已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率e=，F(xiàn)₁也是拋物線C₁：y2=-4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₂的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，且2=，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，求直線GD的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意得拋物線C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而列出關(guān)于a，c的等式解之即得a，c，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系求出b值，最后寫出橢圓C的方程；
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意，故可設(shè)直線l：y=k（x-1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得k值，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�C₁的焦點(diǎn)是F₁（-1，0），
則，得a=2，則b=，
故橢圓C的方程為…（4分）
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意，
故可設(shè)直線l：y=k（x-1），設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2=，則：
，得（+）x²-k²x+-1=0，
則x₁+x₂=，①，x₁x₂=，②
將x₂=3-2x₁代入①②，得：
3-x₁=，…③3x₁-2x=，…④
由③、④得k=，
x₁==，x₂=3-2x₁=-，…（10分）
（i）若k=-時(shí)，y₁=-，
y₂=-（--1）=，
即G（-，-），D（，-），，
直線GD的方程是y+=（x+）；
（ii）當(dāng)k=時(shí)，同理可求直線GD的方程是
y-=-（x+）；…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和求法和直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線的性質(zhì)及向量公式的靈活運(yùn)用，注意合理地進(jìn)行等介轉(zhuǎn)化．