Question

定義區(qū)間[x₁，x₂]長度為x₂-x₁，（x₂＞x₁），已知函數(shù)f（x）=

(a2+a)x-1

a2x

 （a∈R，a≠0）的定義域與值域都是[m，n]，則區(qū)間[m，n]取最大長度時a的值為（　�。�

• A、

  2 3

  3

• B、a＞1或a＜-3
• C、a＞1
• D、3

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：得出

f(m)=m f(n)=n

，故m，n是方程）=

a+1

a

-

1

a2x

=x的同號的相異實數(shù)根，即a²x²-（a²+a）x+1=0的同號的相異實數(shù)根得出mn=

1

a2

，只需△=a²（a+3）（a-1）＞0，a＞1或a＜-3，利用函數(shù)求解n-m=

(m+n)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，n-m取最大值為

2 3

3

．此時a=3，

解答： 解：設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．
x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函數(shù)f（x）=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上單調(diào)遞增，則

f(m)=m f(n)=n

，
故m，n是方程）=

a+1

a

-

1

a2x

=x的同號的相異實數(shù)根，
即a²x²-（a²+a）x+1=0的同號的相異實數(shù)根
∵mn=

1

a2

∴m，n同號，只需△=a²（a+3）（a-1）＞0，
∴a＞1或a＜-3，n-m=

(m+n)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，
n-m取最大值為

2 3

3

．此時a=3，
故選：D

點評：本題考查了函數(shù)性質(zhì)的方程的運用，屬于中檔題，分類討論思想的運用，增加了本題的難度，解題時注意．