Question

（2013•紹興一模）已知a為[0，1]上的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²，則以下結(jié)論：
①對(duì)于任意x₀∈R，總存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≥0；
②對(duì)于任意x₀∈R，總存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≤0；
③對(duì)于任意的函數(shù)f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），總存在x₀∈R，使得；f_i（x）f_j（x）＞0；
④對(duì)于任意的函數(shù)f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），總存在x₀∈R，使得；f_i（x）f_j（x）＜0．
其中正確的為

①④

．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²的符號(hào)變化規(guī)律，逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可得到答案，注意四個(gè)命題間的關(guān)系．

解答：解：①當(dāng)x≤-1時(shí)，f₂（x）=-x²+1≤0，f₁（x）=x-a≤-1-a＜0，此時(shí)f₁（x）f₂（x）≥0；
當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，f₂（x）≥0，f₃（x）=-x³+x²=x²（1-x）≥0，此時(shí)f₂（x）f₃（x）≥0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f₂（x）=-x²+1＜0，f₃（x）=-x³+x²=x²（1-x）＜0，此時(shí)f₂（x）f₃（x）＞0；
綜上，對(duì)于任意x₀∈R，總存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≥0，
故①正確；
②若a=0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，f₃（x）＞0，此時(shí)不存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≤0；
故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)a=1時(shí)，f₁（x）=x-1，當(dāng)x≤1時(shí)，f₁（x）≤0，f₃（x）≥0，當(dāng)x＞1時(shí)，f₁（x）＞0，f₃（x）＜0，即對(duì)任意x總有f₁（x）f₃（x）≤0，
故③錯(cuò)誤；
④對(duì)f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，
當(dāng)x＞1時(shí)，f₁（x）＞0，f₂（x）＜0，∴f₁（x）f₂（x）＜0；
對(duì)f₁（x）=x-a，f₃（x）=-x³+x²，
當(dāng)x＞1時(shí)，f₁（x）＞0，f₃（x）＜0，∴f₁（x）f₃（x）＜0；
對(duì)f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f₂（x）＜0，f₃（x）＞0，∴f₂（x）f₃（x）＜0；
∴對(duì)于任意的函數(shù)f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），總存在x₀∈R，使得f_i（x）f_j（x）＜0．
故④正確；
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立、全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．