Question

已知函數f(x)=

1- 1 x    x≥1 1 x -1   0＜x＜1.

（1）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求

1

a

+

1

b

的值；
（2）是否存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由；
（3）若存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]（m≠0）．求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據分段函數，可知f（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上是增函數．利用f（a）=f（b），可求

1

a

+

1

b

的值；
（2）假設存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，分三種情況討論：a，b∈（0，1）；a，b∈[1，+∞）；a∈（0，1），b∈[1，+∞），分別利用相應函數解析式求解即可；
（3）與（2）同樣思路：分三種情況討論：a，b∈（0，1）；a，b∈[1，+∞）；a∈（0，1），b∈[1，+∞），分別利用相應函數解析式求解即可的結論．

解答：解：（1）∵f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上是增函數．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），
可得 0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

．
所以

1

a

+

1

b

=2．
（2）不存在滿足條件的實數a，b．
若存在滿足條件的實數a，b，則0＜a＜b
①當a，b∈（0，1）時，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上為減函數．
故

f(a)=b f(b)=a.

即  

1 a -1=b 1 b -1=a.

解得  a=b．
故此時不存在適合條件的實數a，b．
②當a，b∈[1，+∞）時，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函數．
故

f(a)=a f(b)=b.

即  

1- 1 a =a 1- 1 b =b.

此時a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程無實根．
故此時不存在適合條件的實數a，b．
當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此時不存在適合條件的實數a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．
（3）若存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．
則a＞0，m＞0．
當此時得a，b異號，不符合題意，所以a，b不存在．
a，b∈（0，1）時，由于f（x）在（0，1）上是減函數，
故

3 1 a -1=mb 4 1 b -1=ma.5

當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，易知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，
所以a，b不存在．　　　　　　
故只有a，b∈[1，+∞）
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴

f(a)=ma f(b)=mb.

即  

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb.

1，b是方程mx²-x+1=0的兩個根．
即關于x的方程mx²-x+1=0有兩個大于1的實根．設這兩個根為x₁，x₂．
則x₁+x₂=

1

m

，x₁•x₂=

1

m

．
∴

△＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0.

即  

1-4m＞0 1 m -2＞0.

解得   0＜m＜

1

4

． 
故m的取值范圍是0＜m＜

1

4

．

點評：本題的考點是函數與方程的綜合應用，主要考查已知分段函數，研究函數的定義域與值域，利用方程的思想解決函數問題，有一定的難度．