(2012•福建模擬)(1)選修4-2:矩陣與變換
已知向量
1
-1
在矩陣M=
1m
01
變換下得到的向量是
0
-1

(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求曲線y2-x+y=0在矩陣M-1對應(yīng)的線性變換作用下得到的曲線方程.
(2)選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4
2
,
π
4
)
,曲線C的參數(shù)方程為
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
(α為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線OM的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值.
(3)選修4-5:不等式選講
設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=9.
(Ⅰ)若|9-b|+|a|<3,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若a,b>0,且z=a2b,求z的最大值.
分析:(1)(Ⅰ)由條件求得
1-m
-1
=
0
-1
,從而求得m 的值.
(Ⅱ)先求得,M-1=
1-1
01
,設(shè)曲線y2-x+y=0上任意一點(diǎn)(x,y)在矩陣M-1所對應(yīng)的線性變換作用下的像是(x',y'),由矩陣變換的法則得
x=x′+y′
y=y′
代入曲線y2-x+y=0得y'2=x',由此得出結(jié)論.
(2)(Ⅰ)由點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4
2
,
π
4
)
得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(4,4),由此求得直線OM的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)由曲線C的參數(shù)方程化為普通方程,可得表示一個(gè)圓,求出M到圓心的距離,減去半徑,即得所求.
(3)(Ⅰ)由2a+b=9得|6-b|=2|a|.不等式化為3|a|<3,即|a|<1,從而解得a的取值范圍.
(Ⅱ)由 a,b>0,且z=a2b,利用平均值不等式求得z的最大值.
解答:(1)解:(Ⅰ)因?yàn)?
1m
01
1
-1
=
1-m
-1

所以,
1-m
-1
=
0
-1
,即m=1.…(3分)
(Ⅱ)因?yàn)?span id="67n2zsr" class="MathJye">M=
11
01
,所以M-1=
1-1
01
.…(4分)
設(shè)曲線y2-x+y=0上任意一點(diǎn)(x,y)在矩陣M-1所對應(yīng)的線性變換作用下的像是(x',y').
x′
y′
=
1-1
01
x
y
=
x-y
y
,…(5分)
所以
x-y=x′
y=y′
x=x′+y′
y=y′
代入曲線y2-x+y=0得y'2=x'.…(6分)
由(x,y)的任意性可知,曲線y2-x+y=0在矩陣M-1對應(yīng)的線性變換作用下的曲線方程為y2=x.…(7分)
(2)解:(Ⅰ)由點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4
2
,
π
4
)
得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(4,4),
所以直線OM的直角坐標(biāo)方程為y=x.…(3分)
(Ⅱ)由曲線C的參數(shù)方程
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
(α為參數(shù))
化為普通方程為(x-1)2+y2=2,…(5分)
圓心為A(1,0),半徑為r=
2

由于點(diǎn)M在曲線C外,故點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離最小值為MA-r=5-
2
.…(7分)
(3)解:(Ⅰ)由2a+b=9得9-b=2a,即|6-b|=2|a|.
所以|9-b|+|a|<3可化為3|a|<3,即|a|<1,解得-1<a<1.
所以a的取值范圍-1<a<1.…(4分)
(Ⅱ)因?yàn)閍,b>0,所以z=a2b=a•a•b≤(
a+a+b
3
)3=(
2a+b
3
)3=33
=27,…(6分)
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí),等號成立.
故z的最大值為27.…(7分)
點(diǎn)評:本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識;考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識;考查絕對不等式、不等式證明等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合思想考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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.
x
,
.
x
,則下列判斷正確的是( 。

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3
2
,則正視圖中的x的值是( 。

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a
=(3,1)
,
b
=(x
,-3),且
a
b
,則x=
1
1

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1
4
))
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