Question

如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，其中有一個(gè)高為xcm的內(nèi)接圓柱．
（1）試用x表示圓柱的側(cè)面積；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大．

Answer 1

分析：（1）由題意作出幾何體的軸截面，根據(jù)軸截面和比例關(guān)系列出方程，求出圓柱的底面半徑，再表示出圓柱的側(cè)面積；
（2）由（1）求出的側(cè)面面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出側(cè)面面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r，它的軸截面如圖：
由圖得，

r

2

=

6-x

6

，即r=2-

x

3

．
∴S_{圓柱側(cè)}=2πrx=2π(2-

x

3

)x=4πx-

2π

3

x2（5分）

（2）由（1）知當(dāng)x=-

4π

2(- 2π 3 )

=3時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)有最大值為6π，
∴當(dāng)圓柱的高為3cm時(shí)，它的側(cè)面積最大為6πcm²（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是簡(jiǎn)單組合體的面積問(wèn)題，關(guān)鍵是作出軸截面，求出長(zhǎng)度之間的關(guān)系式，表示出面積后利用函數(shù)的思想求出最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想．