Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^-x，其中x∈R，a是實(shí)常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底．
（1）確定a的值，使f（x）的極小值為0；
（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，f（x）的極大值為3；
（3）討論關(guān)于x的方程f（x）+f'（x）=2xe^-x+x^-2（x≠0）的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（1）f'（x）=（2x+a）e^x-（x²+ax+a）e^-x=-e^-x[x²+（a-2）x]（2分）
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
①當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）≤0，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)無(wú)極值
②當(dāng)0＜2-a，即a＜2時(shí)，f'（x）和f（x）的變化如圖表1

此時(shí)應(yīng)有f（0）=0，所以a=0＜2；
③當(dāng)0＞2-a，即a＞2時(shí)，f'（x）和f（x）的變化如圖表2
此時(shí)應(yīng)有f（2-a）=0，
即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=0，
而e^a-2≠0，
所以必有（2-a）²+a（2-a）+a=0，a=4＞2．
綜上所述，當(dāng)a=0或a=4時(shí)，f（x）的極小值為0．（5分）
（2）若a＜2，則由表1可知，應(yīng)有f（2-a）=3，
即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=3，
∴（4-a）e^a+2=3．設(shè)g（a）=（4-a）e^a-2，
則g'（a）=-e^a-2+（4-a）e^a-2=3=e^a-2（3-a）．
由a＜2，故g'（x）＞0，于是當(dāng)a＜2時(shí)，g（a）＜g（2）=2＜3，
即（4-a）e^a-2=3不可能成立；
若a＞2，則由表2可知，應(yīng)有f（0）=3，即a=3，
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)極大值為3．（8分）
（3）∵f（x）=（x²+ax+a）e^-x，f'（x）=-e^x[x²+（a-2）x]，
∴方程f（x）+f'（x）=2xe^-x+x^-2可以化為ae^-x=x^-2，
進(jìn)而化為x^-2e^x=a，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=x^-2e^x（x≠0），求導(dǎo)可得φ'（x）=e^x（x-2）x^-3．
由φ'（x）＞0得x＜0或x＞2；
由φ'（x）＜0得0＜x＜2，從而φ（x）在區(qū)間（-∞，0）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，
在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)φ（x）取得極小值，
并且結(jié)合函數(shù)圖象可知；當(dāng)|x|無(wú)限趨近于0時(shí)，φ（x）＞0并且取值無(wú)限增大，其圖象向上無(wú)限接近y軸，
但永遠(yuǎn)也達(dá)不到y(tǒng)軸（此時(shí)y軸是漸近線）；
當(dāng)x＜0并無(wú)限減小時(shí)，φ（x）＞0并且取值也無(wú)限減小，
其圖象在x軸上方并向左無(wú)限接近x軸，
但永遠(yuǎn)也達(dá)不到x軸（此時(shí)x軸是漸近線）；
當(dāng)x＞2并無(wú)限增大時(shí)，φ（x）＞0并且取值也無(wú)限增大，
其圖象在第一象限內(nèi)向右上方無(wú)限延伸（如圖所示）．

因此當(dāng)a≤0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，原方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，整理可得f′（x）=e^-x[x²+（a-2）x]
（1）令f′①（x）=0可得x₁=0，x₂=2-a，分別討論2-a 與0的大小，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出函數(shù)的極小值，從而求a的值
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)單調(diào)性的兩種情況的討論，利用反證法分別假設(shè)a＞2，a＜2兩種情況證明，產(chǎn)生矛盾．
（3）把已知條件化簡(jiǎn)可得ae^-x=x^-2?a=e^x•x^-2，構(gòu)造函數(shù)∅（x）=x^-2•e^x（x≠0），利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的圖象討論根的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本小題考查用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及方程根的存在情況．解題中滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)的思想及轉(zhuǎn)化的思想，本題是一道綜合性較強(qiáng)的試題，運(yùn)用了許多重要的數(shù)學(xué)思想和方法，要注意體會(huì)掌握．