求證：△ABC的外心S，重心G，垂心H在一條直線上，且G分
HS
得比為2：1．
考點：三角形五心
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：分析：根據(jù)題意作出圖形，由外心和垂心的性質(zhì)證明四邊形AHCD是平行四邊形，由向量加法的三角形法則得
SH
=
SA
+
AH
，由向量相等和向量的減法運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到
SA
+
SB
+
SC
=
SH
，再根據(jù)△ABC重心為G滿足
GA
+
GB
+
GC
=
0
，結(jié)合已知中
SA
+
SB
+
SC
=
SH
，我們易判斷出
SH
=3
SG
，根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，即可得到S，G，H三點共線，且G分
HS
得比為2：1．
解答： 解：如圖：作直徑BD，連接DA、DC，

由圖得，
SB
=-
SD
，
∵H為△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD為直徑，
∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四邊形AHCD是平行四邊形，
∴
AH
=
DC
，
又∵
DC
=
SC
-
SD
=
SC
+
SB
，
∴
SH
=
SA
+
AH
=
SA
+
DC
=
SA
+
SB
+
SC
，
又∵G為△ABC的重心
∴
GA
+
GB
+
GC
=（
GS
+
SA
）+（
GS
+
SB
）+（
GS
+
SC
）=3
GS
+
SA
+
SB
+
SC
=3
GS
+
SH
=
0
，
即
SH
=3
SG
，
即S，G，H三點共線，且SH=3SG
即S，G，H三點共線，且OG：GH=1：2．
從而得到：△ABC的外心S，重心G，垂心H在一條直線上，且G分
HS
得比為2：1．
點評：本題考查的知識點是三角形的五心，其中熟練掌握向量五心的向量表達(dá)式形式，如（1）中△ABC外心為O滿足|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，（2）中△ABC重心為G滿足
GA
+
GB
+
GC
=
0
，是解答此類問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
sinx
sinx+cosx
，則f′（
π
4
）等于（　　）
A、
1
2
B、
1
2
2
C、
1
2
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x3-3x2+6
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

據(jù)民生所望，相關(guān)部門對所屬服務(wù)單位進(jìn)行整治性核查，規(guī)定：從甲類3個指標(biāo)項中隨機(jī)抽取2項，從乙類2個指標(biāo)項中隨機(jī)抽取1項．在所抽查的3個指標(biāo)項中，3項都優(yōu)秀的獎勵10萬元；只有甲類2項優(yōu)秀的獎勵6萬元；甲類只有一項優(yōu)秀，乙類1項優(yōu)秀的提出警告，有2項或2項以上不優(yōu)秀的停業(yè)運營并罰款8萬元．已知某家服務(wù)單位甲類3項指標(biāo)項中有2項優(yōu)秀，乙類2項指標(biāo)項中有1項優(yōu)秀，求：
（Ⅰ）這家單位受到獎勵的概率；
（Ⅱ）這家單位這次整治性核查中所獲金額的均值（獎勵為正數(shù)，罰款為負(fù)數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求值：已知sin（x+
π
6
）=
1
4
，求sin（
7π
6
+x）+sin（
11π
6
-x）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下表給出了從某校500名12歲男生中用簡單隨機(jī)抽樣得出的120人的身高資料（單位：厘米）：
分組 人數(shù) 頻率
[122，126） 5 0.042
[126，130） 8 0.067
[130，134） 10 0.083
[134，138） 22 0.183
[138，142） y
[142，146） 20 0.167
[146，150） 11 0.092
[150，154） x 0.050
[154，158） 5 0.042
合計 120 1.00
（1）在這個問題中，總體是什么？
（2）求表中x與y的值，畫出頻率分布直方圖及頻率分布折線圖；
（3）試計算身高在146～154cm的總?cè)藬?shù)約有多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
x3-
1
2
ax2+（a-1）x，
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程；
（2）當(dāng)a為何值時，函數(shù)y=f（x）有極值？并求出極大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1在x=-1與x=2處有極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；    
（2）求f（x）在[-2，3]上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y滿足（x-1）2+（y+2）2=4，求S=3x-y的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案