Question

已知|

a

|=1，|

b

|=

2

．
（1）若

a

∥

b

，求

a

•

b

；
（2）若

a

，

b

的夾角為60°，求|

a

+

b

|；
（3）若

a

-

b

與

a

垂直，求

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

，則

a

與

b

的夾角為0或π，分別代入向量的數(shù)量積公式，即得答案．
（2）

a

，

b

的夾角為60°，則易得

a

•

b

，要求|

a

+

b

|，可根據(jù)|

a

+

b

|=

( a + b )2

，進(jìn)行求解．
（3）若

a

-

b

與

a

垂直，則（

a

-

b

）•

a

=0，展開(kāi)后，可以求出

a

•

b

的值，然后代入向量夾角公式，即可求解．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴

a

，

b

向量的夾角θ為0或π
則cosθ=±1
又∵|

a

|=1，|

b

|=

2

．

a

•

b

=

2

或-

2

（2）∵

a

，

b

的夾角為60°
且|

a

|=1，|

b

|=

2

∴

a

•

b

=

2

2

，

a

2=1，

b

2=2
∴|

a

+

b

|=

3+ 2

（3）若

a

-

b

與

a

垂直
則（

a

-

b

）•

a

=0
即

a

2-

a

•

b

=0
即

a

•

b

=1
∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

2

2

∴

a

與

b

的夾角為45°

點(diǎn)評(píng)：如果兩個(gè)非量平面向量平行（共線），則它們的方向相同或相反，此時(shí)他們的夾角為0或π．當(dāng)它們同向時(shí)，夾角為0，此時(shí)向量的數(shù)量積，等于他們模的積；當(dāng)它們反向時(shí)，夾角為π，此時(shí)向量的數(shù)量積，等于他們模的積的相反數(shù)．如果兩個(gè)向量垂直，則它們的夾角為

π

2

，此時(shí)向量的數(shù)量積，等于0．