Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD中點．
（1）求證：B₁E⊥AD₁；
（2）若AB=2，求二面角B-AB₁-E的余弦值；
（3）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，只要證明

AD1

•

B1E

=0即可；
（2）由長方體可得AD⊥平面BAB₁，平面BAB₁的一個法向量可取

AD

．設(shè)平面AB₁E的法向量為

m

=(x，y，z)，則

m • AB1 =2x+z=0 m • AE =x+y=0

，解出可得

m

，再求

AD

與

m

的夾角即可；
（3）假設(shè)在棱上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE，則

DP

=(0，-1，t)，設(shè)平面B₁AE的法向量為

n

=(x，y，z)，解出

DP

•

n

=0即可．

解答：解：（1）以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=a，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(

a

2

，1，0)，B1(a，0，1)，

AD1

=(0，1，1)，

B1E

=(-

a

2

，1，-1)，

AB1

=(a，0，1)，

AE

=(

a

2

，1，0)，

AD1

•

B1E

=-

a

2

×0+1×1+(-1)×1=0，
故B₁E⊥AD₁．
（2）由AB=2，得B（2，0，0），B₁（2，0，1），C（2，1，0），E（1，1，0）．
則

AB1

=（2，0，1），

AE

=（1，1，0）．
由長方體可得AD⊥平面BAB₁，平面BAB₁的一個法向量可取

AD

=（0，1，0）．
設(shè)平面AB₁E的法向量為

m

=(x，y，z)，則

m • AB1 =2x+z=0 m • AE =x+y=0

，
取x=1，則y=-1，z=-2．∴

m

=(1，-1，-2)．
∴cos＜

m

，

AD

＞=

AD • m

| AD | | m |

=

-1

1× 6

=-

6

6

．
從圖上看：二面角B-AB₁-E的平面角為銳角，
∴二面角B-AB₁-E的余弦值為

6

6

．
（3）假設(shè)在棱上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE，則

DP

=(0，-1，t)，
設(shè)平面B₁AE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AB1 =0 n • AE =0

⇒

ax+z=0 ax 2 +y=0

，取x=1，可得

n

=(1，-

a

2

，-a)，
要使DP∥平面B₁AE，只要

DP

⊥

n

，即

DP

•

n

=0，
∴

a

2

-at=0⇒t=

1

2

，
又DP?平面B₁AE，∴存在點P使DP∥平面B₁AE，此時AP=

1

2

．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的夾角公式和數(shù)量積運算求二面角、證明線線垂直及線面平行等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．