Question

（本小題滿分14分）
已知數(shù)列滿足：其中
（1）當(dāng)時(shí)，求的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，若數(shù)列中，且求證：對(duì)于恒成立；
（3）對(duì)于設(shè)的前項(xiàng)和為，試比較與的大�。�

Answer 1

（1）；（2）；（3）＜．

試題分析：(I) 當(dāng)時(shí),可求出從而可得即因而可確定是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列,據(jù)此求出其通項(xiàng)公式；
（II）先求出當(dāng)時(shí)，
,
因?yàn)閎₁=1也滿足上式，因而當(dāng)時(shí)，
然后根據(jù),從得可求出.
(3) 由得：
　
即
從而得到是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，故,
然后可得　　
＝,
通過分組求和即可求出S_n,到此問題基本得以解決.
（1）當(dāng)時(shí)，
即分
故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為　………………………4分
（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，有

…………………6分
也滿足上式，故當(dāng)時(shí)，
，
即…………………………8分
（3）解法一：由得：
　
即
是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，故………………9分

　�。�
　�。�………………………11分
因此，－＝－
＝
＝
＝
＜．……………………14分
解法二：同解法一得 ……………………9分
……………………11分

　　＝

　

＜．…………………14分(其他解法酌情給分)
點(diǎn)評(píng)：（1）等差等比數(shù)列的定義是判定一個(gè)數(shù)列是否是等差或等比數(shù)列的依據(jù)，要勿必掌握.（2）三角函數(shù)公式的變形也是解決本題的基礎(chǔ)，因此要熟記常見的變形公式如：
，還有等.
（3）在比較兩個(gè)數(shù)或式子大小不易直接比較時(shí)，作差比較法是常用也是很有效的方法之一.