精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標系中,中心在原點,焦點在X軸上的橢圓G的離心率為e=
15
4
,左頂點A(-4,0),圓O':(x-2)2+y2=r2是橢圓G的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓.
(Ⅰ) 求橢圓G的方程;
(Ⅱ)求圓O'的半徑r;
(Ⅲ)過M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點,判斷直線EF與圓O'的位置關系,并證明.
分析:(Ⅰ)利用橢圓G的離心率為e=
15
4
,左頂點A(-4,0),可求橢圓的標準方程;
(Ⅱ) 可取BC⊥X軸時來研究,則可設B(2+r,y0),過圓心G作GD⊥AB于D,BC交長軸于H由
GD
AD
=
HB
AH
y0=
r
6+r
6-r
,再由點B(2+r,y0)在橢圓上,建立關于r的方程求解.
(Ⅲ)設過點M(0,1)與圓相切的直線方程為:y-1=kx,由圓心到直線的距離等于半徑求k1=
-9+
41
16
,k2=
-9-
41
16
,與橢圓方程聯(lián)立,表示出E,F(xiàn)和坐標,從而得到EF所在的直線的方程,再探討圓心到直線的距離和半徑的關系.
解答:解:(Ⅰ) e=
15
4
=
c
a
,a=4得c=
15
,b=1
,橢圓G方程為
x2
16
+y2=1
-------(5分)
(Ⅱ)設B(2+r,y0),過圓心o'作O'D⊥AB于D,BC交長軸于H
O′D
AD
=
HB
AH
r
36-r2
=
y0
6+r
,即     y0=
r
6+r
6-r
(1)---------(7分)
而點B(2+r,y0)在橢圓上,y02=1-
(2+r)2
16
=
12-4r-r2
16
=-
(r-2)(r+6)
16
(2)-----(9分)
由(1)、(2)式得15r2+8r-12=0,解得r=
2
3
r=-
6
5
(舍去)-------(11分)
(Ⅲ)直線EF與圓O'的相切
設過點M(0,1)與圓(x-2)2+y2=
4
9
相切的直線方程為:y-1=kx(3)
2
3
=
|2k+1|
1+k2
,即32k2+36k+5=0(4)
解得k1=
-9+
41
16
k2=
-9-
41
16

將(3)代入
x2
16
+y2=1
得(16k2+1)x2+32kx=0,則異于零的解為x=-
32k
16k2+1
-------(13分)
設F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),則x1=-
32k1
16k12+1
,x2=-
32k2
16k22+1

則直線FE的斜率為:kEF=
k2x2-k1x1
x2-x1
=
k1+k2
1-16k1k2
=
3
4

于是直線FE的方程為:y+
32k12
16k12+1
-1=
3
4
(x+
32k1
16k12+1
)
y=
3
4
x-
7
3

則圓心(2,0)到直線FE的距離d=
|
3
2
-
7
3
|
1+
9
16
=
2
3
故結論成立.------------(15分)
點評:本題主要是通過圓和橢圓來考查直線和圓,直線和橢圓的位置關系.
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3
x+3y=0(x≥0),
過點P(1,0)作直線分別交射線OA、OB于A、B點.
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②當AB的中點在直線y=
1
2
x上時,求直線AB的方程.

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4x
(x>0)
的圖象相交于點A、B,設點A的坐標為(x1,y1),那么長為x1,寬為y1的矩形面積和周長分別為
4,12
4,12

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x
3
,
y
2
2
)
一定在某圓C2上;
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15
4
,左頂點為A(-4,0).圓O′:(x-2)2+y2=
4
9

(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)過M(0,1)作圓O′的兩條切線交橢圓于E、F,判斷直線EF與圓的位置關系,并證明.

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