Question

已知焦點(diǎn)在x軸上橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)分別為A，B，O為橢圓的中心，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且

AF

•

BF

=-1，離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用

AF

•

BF

=-1，離心率e=

2

2

，可求幾何量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓與點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，且F恰好為△PQM的垂心，設(shè)直線l為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，及

MP

•

FQ

=0，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0）
∵

AF

•

BF

=-1
∴（c+a，0）•（c-a，0）=-1
∴c²-a²=-1
∵離心率e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

∴a²=2，c²=1
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓與點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，且F恰好為△PQM的垂，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因?yàn)镸（0，1），F(xiàn)（1.0），所以k_PQ=1．
于是設(shè)直線l為y=x+m，由

y=x+m x2 2 +y2=1

得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

∵

MP

•

FQ

=0
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0=0
∴2×

2m2-2

3

-

4m

3

（m-1）+m²-m=0=0
∴m=-

4

3

或m=1（舍去）
故直線l的方程為y=x-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．