Question

如圖是以正方形ABCD為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，且AB=BC=

2

，AE=1，BF=DH=2，CG=3
（Ⅰ）證明：截面四邊形EFGH是菱形；
（Ⅱ）求幾何體C-EFGH的體積．

Answer 1

分析：（I）由題意及圖形因為平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分別交平面ABFE、平面CDHG于直線EF、GH，所以EF∥GH，又因為BD⊥AC，而AC為EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD，BF=DH，所以FH∥BD，利用直線成角的定義即可；
（II）連接CE、CF、CH、CA，則V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE，AE=1，BF=DH=2，CG=3幾何體是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分，所以該幾何體的體積利用體積具有分割法即可求得．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分別交
平面ABFE、平面CDHG于直線EF、GH，所以EF∥GH．
同理，F(xiàn)G∥EH．
因此，四邊形EFGH為平行四邊形．
因為BD⊥AC，而AC為EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD．
因為BF=DH，所以FH∥BD．
因此，F(xiàn)H⊥EG．
所以四邊形EFGH是菱形．
（Ⅱ）連接CE、CF、CH、CA，則V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE∵AE=1，BF=DH=2，CG=3且?guī)缀误w是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分，∴該幾何體的體積為V=

2

2×2=4，VC-ABFE=

1

3

×S四邊形ABFE×BC=

1

3

×

1

2

(AE+BF)•AB×BC=

1

6

(1+2)

2

2

=1
同理，得V_C-ADHE=1
所以，V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE=4-1-1=2，
即幾何體C-EFGH的體積為2．

點評：此題考查了面面平行的性質(zhì)定理，平行四邊形的判定三垂線定理及直線所成的角，棱錐的體積公式及體積分割的原理．