Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA₁=2，點(diǎn)G與E分別為線段A₁B₁和C₁C的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若GD⊥EF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出F、D的坐標(biāo)，求出向量 ，，利用GD⊥EF求得關(guān)系式，寫出DF的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值．
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），E（0，2，1），
G（1，0，2），F(xiàn)（x，0，0），D（0，y，0）=（1，-y，2），=（x，-2，-1）
由于GD⊥EF，
所以   x+2y-2=0
∴|DF|===
∴當(dāng)y=時(shí)，線段DF長(zhǎng)度的最小值是 ．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，空間直角坐標(biāo)系，數(shù)量積等知識(shí)，是中檔題．解決問題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把問題轉(zhuǎn)化為利用二此函數(shù)知識(shí)解決．